SONG Shengjie

List: 121. 买卖股票的最佳时机，122.买卖股票的最佳时机II，123.买卖股票的最佳时机III

121. 买卖股票的最佳时机，122.买卖股票的最佳时机IIbest-time-to-buy-and-sell-stock-ii，123.买卖股票的最佳时机IIIbest-time-to-buy-and-sell-stock-iii

121. 买卖股票的最佳时机

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        dp = [[0] * 2 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, len(prices)):
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], - prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1])
        return max(dp[len(prices) - 1][0], dp[len(prices) - 1][1])

优化：从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。那么我们只需要记录当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下：

        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];

122.买卖股票的最佳时机IIbest-time-to-buy-and-sell-stock-ii

Leetcode

Learning Materials

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        dp = [[0] * 2 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, len(prices)):
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])  #唯一区别
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1])
        return max(dp[len(prices) - 1][0], dp[len(prices) - 1][1])

123.买卖股票的最佳时机IIIbest-time-to-buy-and-sell-stock-iii

Leetcode

Learning Materials

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        dp = [[0] * 5 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = -prices[0]
        dp[0][2] = 0
        dp[0][3] = -prices[0]
        dp[0][4] = 0
        for i in range(1, len(prices)):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0]
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])  
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])  
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])
        return dp[len(prices) - 1][4]

优化的c++版

// 版本二
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(5, 0);
        dp[1] = -prices[0];
        dp[3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i]);
            dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);
            dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i]);
            dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i]);
        }
        return dp[4];
    }
};

解释：

dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i]); 如果dp[1]取dp[1]，即保持买入股票的状态，那么 dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);中dp[1] + prices[i] 就是今天卖出。

如果dp[1]取dp[0] - prices[i]，今天买入股票，那么dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);中的dp[1] + prices[i]相当于是今天再卖出股票，一买一卖收益为0，对所得现金没有影响。相当于今天买入股票又卖出股票，等于没有操作，保持昨天卖出股票的状态了。

在动态规划的状态设计中，dp[i][4] 表示的是最多进行两次完整交易（两次买入+两次卖出）后的最大利润，而非允许无限次交易。以下是具体原因分析：

1. 状态定义的严格限制

代码中定义了 dp[i][j] 的 5 种状态，其中：

dp[i][0]：无任何交易。
dp[i][1]：第一次买入后未卖出。
dp[i][2]：第一次卖出后结束第一次交易。
dp[i][3]：第二次买入后未卖出（必须在第一次卖出后才能进行）。
dp[i][4]：第二次卖出后结束第二次交易（必须在第二次买入后才能进行）。

关键点：每个状态的转移都严格遵循交易的顺序。例如：

要进入第二次买入状态 dp[i][3]，必须从第一次卖出状态 dp[i-1][2] 转移而来（即必须完成第一次交易后才能进行第二次买入）。
要进入第二次卖出状态 dp[i][4]，必须从第二次买入状态 dp[i-1][3] 转移而来（即必须完成第二次买入后才能卖出）。

这种状态设计从根本上限制了交易次数最多为 两次完整的买入+卖出，无法进行第三次交易。

2. 用户举例的分析

用户提出的场景：

第 1 天买入 → 第 1 天卖出（第一次交易）。
第 2 天买入 → 第 2 天卖出（第二次交易）。
第 3 天再次买入（第三次交易）。

在代码的状态设计下，这种场景是否可能？

分析过程：

第 1 天买入后卖出，状态变为 dp[1][2]（第一次卖出）。
第 2 天买入，必须从 dp[1][2] 转移到 dp[2][3]（第二次买入）。
第 2 天卖出，从 dp[2][3] 转移到 dp[2][4]（第二次卖出）。
第 3 天若想再次买入，需要从 dp[2][4] 转移到新的买入状态。但代码中没有第三次买入的状态（只有 dp[i][3] 表示第二次买入），因此无法进行第三次买入。

因此，代码的状态设计天然不支持超过两次的交易，用户举例的第三次买入在状态转移中没有对应的状态，因此不可能发生。

3. 状态转移的顺序保证

状态转移方程严格按照交易顺序进行：

第一次买入（dp[i][1]）只能由无交易状态 dp[i-1][0] 转移而来。
第一次卖出（dp[i][2]）只能由第一次买入状态 dp[i-1][1] 转移而来。
第二次买入（dp[i][3]）只能由第一次卖出状态 dp[i-1][2] 转移而来。
第二次卖出（dp[i][4]）只能由第二次买入状态 dp[i-1][3] 转移而来。

这种顺序保证了每一次买入必须在前一次卖出之后，且最多进行两次完整的交易。即使某天买入后当天卖出，也会被视为一次完整的交易，后续只能再进行一次交易。

结论

通过状态定义和转移方程的严格限制，dp[i][4] 始终表示最多两次完整交易后的最大利润。任何超过两次交易的操作（如用户举例的第三次买入）在状态设计中没有对应的状态，因此不可能出现。

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